我在这里也被卡住了，后来自己推导了一遍。
总之微积分的初学者会看到微分运算的用途还是很大的, 关于微积分你可以就按照我下面那些感性的理解先用着, 以后会学到严谨的极限定义的. 然而实际上再往后的生活中好像也没谁会去那么强调极限定义了, 知道是那么回事就行了.
下面的推导中我应该没有跳过任何哪怕是运算上的步骤, 如果你觉得这个内容仍然有一定的挑战性也是正常的, 毕竟我中学的时候应该完全看不懂这些; 如果你觉得这个推导过于细致了也是正常的, 因为这确实只是一些完全没有思维量的简单玩意儿.
对于一条曲线我们可以研究其曲率, 也即弯曲程度. 直观来想, 以一条连续光滑曲线上无限接近的两个点为端点的一段弧总应该可以看作是某圆上的一段弧. 这个圆的半径就被定义为曲线在这一点的曲率半径. 而曲率则被定义为曲率半径的倒数.
至于说为何总可以看作是某圆上的一段弧, 可以简单的认为是曲率半径在连续光滑曲线上不会发生突变, 所以在某点的无穷小领域内曲率半径可以看作是一个常量, 事实上这就是光滑的含义.
如何求曲率半径呢? 我们可以回想第一次接触弧度制时是怎么定义弧度的. 弧度是圆弧长与该圆半径的比值对吧? 既 , 显然当 既整个圆周长时弧度为
那么显然曲率半径很自然的可以定义为 , 既无穷小的一段弧长与其相对应弧度的比值.
知道这些我们就可以计算出任意一条连续光滑曲线 在任意一点的曲率半径了.
为了能使用最简单的运算步骤, 我们要先研究一个几何关系:
如图, 既光滑曲线上无限逼近的两点, 当然我们这里使用了夸张的表现手法. 其它量如图标示.
显然在四边形 中有俩直角, 所以 则与其对角互补. 所以其对角的补角
这下子就好办了, 一下子我们就有办法求出 中的 了.
怎么求呢? 还记得曲线的斜率是啥吗? 斜率就是其切线在这一点与水平线夹角的正切值, 那么图上曲线在 两点的斜率自然就分别是 与 了. 而我们想要的正是这俩倾斜角的差值即 [1].
那太简单了, 已知 , 我们对其求微分即得:
这样一来就有:
这个没什么说的, 就是对弧长进行微分, 被称之为弧微分. 硬要说一下的话就是用线段 来代替弧 , 因为当这俩点无限趋近的时候, 它们基本上就没啥区别了, 也就是取一阶近似或者说线性近似的意思.
设 , 线段 的长度很好算的, 勾股定理罢了:
加一个绝对值, 因为呃... 反正曲率半径就是被定义是一个正数, 暂且没啥必要牵扯到负数.
而曲率就是曲率半径求一个倒数, 即
下文有关于这套诡异操作的具体解释:
東雲正樹：学物理真能去二次元吗? / 怎么这个也算高数啊?
考研公式哪些要推导
对于参加考研的同学们来说，数学公式推导是备考过程中不可或缺的一部分。通过推导数学公式，不仅能够加深对知识的理解，还能够提高解题的能力和速度。但是，究竟考研公式中哪些是需要推导的呢？本文将为大家介绍一些需要重点推导的考研公式。
首先，需要推导的是坐标系转换公式。在空间解析几何中，坐标系的转换非常常见。无论是从直角坐标系到极坐标系，还是从直角坐标系到球坐标系，我们都需要掌握相应的坐标系转换公式。只有通过推导，才能更好地理解这些公式的含义和应用场景。
其次，需要推导的是微积分中的导数公式。在微积分中，导数是一种非常重要的数学工具，广泛应用于各个领域。为了熟练掌握导数的求解方法，我们需要推导一些常见的导数公式，如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。这些公式能够帮助我们更快地求解各种函数的导数。
此外，还需要推导的是概率论中的重要公式。概率论是数学中的重要分支，也是考研数学中的必考内容。在概率论中，有一些重要的公式需要我们掌握，如全概率公式、贝叶斯公式、条件概率公式等。只有通过推导，我们才能够更好地理解这些公式的推导过程和应用方法。
还有一些需要推导的矩阵运算公式。矩阵是现代数学的重要工具，广泛应用于线性代数和概率论等领域。在考研数学中，矩阵的操作和性质也是必考内容。因此，我们需要通过推导来掌握一些重要的矩阵运算公式，如矩阵的转置、矩阵的乘法、矩阵的逆等。这些公式在解题过程中经常会用到，掌握它们对于我们的备考非常重要。
最后，还需要推导的是高等数学中的级数公式。级数是高等数学中的基础部分，也是考研数学中的重要内容。在级数的求和过程中，有很多常用的级数公式需要我们推导，如等比级数的求和公式、调和级数的求和公式、幂级数的求和公式等。只有通过推导，我们才能够更好地理解这些公式的推导过程和应用方法。
总结
在考研数学备考过程中，我们需要重点推导一些重要的考研公式。通过推导这些公式，我们不仅可以加深对知识的理解，还可以提高解题的能力和速度。需要重点推导的公式包括坐标系转换公式、微积分中的导数公式、概率论中的重要公式、矩阵运算公式和高等数学中的级数公式。掌握了这些公式，我们在考试中就能够更好地应对各种数学题目。
逆向思维是一种非常有创造力和独特的思考方式，其基本原理是从结果出发，逆向分析问题，再推导出正确的解决方法。在数学领域中，逆向思维也被广泛运用，特别是在推导公式的过程中。本篇博文将探讨如何运用逆向思维推导公式，并介绍一些相关技巧和实例。
逆向思维在数学中有着重要的作用，它可以帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题。在推导公式时，逆向思维能够帮助我们从已知的结果出发，回推出正确的计算步骤和公式。
其中一个常见的应用是在代数学中，通过逆向思维可以推导出一些重要的公式，例如二次方程的解法。我们通常知道二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0。但如何从已知的解反推出这个一般形式呢？通过逆向思维，我们可以仔细观察已知的解，然后逐步将其转化为方程，最终推导出一般形式的二次方程公式。
除了代数学，逆向思维还可以应用在几何学中，例如推导出三角形的面积公式。我们可以从已知的面积公式出发，反推出计算面积所需的相关参数和计算步骤。在推导过程中，逆向思维让我们能够更清晰地理解面积公式的来源和应用。
在运用逆向思维推导公式时，我们需要掌握一些技巧和方法，以确保推导过程的正确性和有效性。
在使用逆向思维进行推导时，我们首先需要明确已知的条件和目标。已知条件是我们开始逆向分析的起点，目标是我们最终要推导出的结果。通过明确已知条件和目标，我们可以更有针对性地进行逆向分析，并找到最合适的路径和方法。
逆向思维的核心是反向分析思路，即从已知的结果出发，逆向思考问题。在推导公式时，我们可以先假设已知的结果成立，然后逆向思考如何得到这个结果。通过反向分析思路，我们可以找到解决问题的关键步骤和思路，进而推导出正确的公式。
在逆向思维的推导过程中，笔记和记录是非常重要的。我们可以将关键的中间步骤和思考过程记录下来，以便复查和整理。同时，笔记和记录也可以帮助我们更好地组织思维，发现潜在的错误或遗漏，并及时进行修正。
逆向思维的推导过程需要反复验证和实践。我们应该多次使用已推导出的公式进行计算和验证，以确保其正确性和适用性。如果出现计算错误或逻辑矛盾，我们可以回溯到推导过程，重新检查中间步骤和思考逻辑。
下面我们将通过两个实例来演示逆向思维推导公式的过程。
已知直角三角形的斜边长度为c，两个直角边的长度分别为a和b。我们的目标是推导出勾股定理：a^2 + b^2 = c^2。
使用逆向思维，我们可以从已知的结果出发，回推出勾股定理的正确表达式。假设勾股定理成立，我们可以推断出直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
根据三角形的定义和勾股定理的几何解释，我们可以得出以下表达式：
综上所述，根据逆向思维的推导，我们得到了勾股定理的表达式：a^2 + b^2 = c^2。
已知等差数列的首项为a，公差为d，我们的目标是推导出等差数列的通项公式：an = a + (n-1)d。
同样地，使用逆向思维，我们可以从已知的结果出发，逆向推导出等差数列的通项公式。
假设等差数列的通项公式an = a + (n-1)d成立，我们可以考虑前n项的和Sn。
根据等差数列的定义和等差数列的前n项和的公式Sn = n/2 * [2a + (n-1)d]，我们可以得到以下表达式：
根据逆向思维的推导，我们可以将通项公式带入前n项和的公式中，经过一系列推导和化简，最终得到等差数列的通项公式：an = a + (n-1)d。
逆向思维在数学中的应用是一种非常强大的工具，特别在推导公式的过程中。通过逆向思维，我们能够更好地理解和解决复杂的数学问题，并推导出正确的公式。在运用逆向思维推导公式时，我们需要确定已知条件和目标，反向分析思路，进行笔记和记录，以及反复验证和实践。通过逆向思维推导公式的实例，我们可以更清晰地看到逆向思维在数学中的应用和效果。
在初中数学学习的过程中，我们经常遇到需要推导公式的情况。公式推导是数学学习的重要一环，不仅能够加深我们对知识的理解，还能提高我们的解题能力和逻辑思维能力。而在公式推导的过程中，逆向思维是一个非常有效的工具。
什么是逆向思维呢？逆向思维，顾名思义就是相反的思维方式。在公式推导中，我们通常都是从已知条件出发，逐步推导出未知量。而逆向思维则是从未知量出发，逆向思考，找出能够达到目标的已知条件。这种思维方式能够帮助我们突破常规的思维模式，发现问题的本质，从而得出更加深入的结论。
逆向思维在初中数学中极为重要。在学习初中数学的各种公式时，我们可以使用逆向思维来推导这些公式的来源和应用场景。以一元二次方程ax^2+bx+c=0为例，通过逆向思维我们可以思考：在哪些情况下，这个方程会出现？它是用来解决什么问题的？通过这样的思考，我们可以更好地理解一元二次方程的意义和作用。
除了公式推导，逆向思维还可以帮助我们解决一些复杂的数学问题。有时候，我们会遇到一些看似无法解决的问题，但是通过逆向思维我们可以找到突破口。就像数学竞赛中的一道难题，看似无从下手，但是通过逆向思维，我们可以反推出一些有用的信息，从而解决问题。
逆向思维不仅在数学学习中有用，也可以应用到日常生活中。比如，当我们面临一些困难和难题时，常规的思维方式可能无法解决问题。这时，我们可以尝试使用逆向思维来思考问题的解决方案。通过从问题的目标出发，逆向思考，我们可能会找到解决问题的新方法。
然而，逆向思维并不是所有问题都适用的。有些问题需要我们按部就班地从已知条件出发，逐步推导出解决方案。逆向思维是一种辅助性的思维方式，适用于某些情况下。因此，在运用逆向思维时，我们需要根据具体情况灵活运用，不要盲目套用。
在初中数学学习中，逆向思维是一个非常有用的工具。通过逆向思维，我们可以更好地理解和应用各种数学公式，提高解题能力和逻辑思维能力。同时，逆向思维也可以帮助我们在解决问题时找到新的思路和突破口。因此，我们应该在数学学习中注重培养逆向思维能力，通过不断练习和思考，提高自己的逆向思维水平。
总之，逆向思维在初中数学学习中是一种非常有用的工具。通过逆向思维，我们可以更好地理解和应用各种数学公式，解决复杂问题，提高解题能力和逻辑思维能力。但是在运用逆向思维时，我们需要注意灵活运用，不要盲目套用。希望每个初中生都能够培养和发展自己的逆向思维能力，用逆向思维拓宽自己的思维视野。
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)=[sinAcosB+cosAsinB]/[cosAcosB-sinAsinB]分子分母同时除以cosAcosB得tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB
调整公式资产完全重置成本=历史成本×（1+适用物价指数增长率）。式中适用物价指数是按定基法计算的资产自计价基期到评估期的物价变动幅度。适用物价指数有两类：
①一般购买力指数，可按物价总指数或生产资料（生活费用）指数计算；
②分类物价指数，即按待评资产相对应的生产资料分类物价指数。
由此分别计算的资产重置成本,构成物价指数调整的两种方法。
前者适用于资产一般购买力的保值，在物价变动的结构性差异较大时，往往使评估值与资产的实际重置成本有较大差距。
后者比较适应资产重置的需要，特别是在资产分类较细、相应的分类物价指数也较齐全的条件下，评估值与实际重置成本更为接近。
但由于统计和其他原因，有关指标往往难以及时得到，所以不得不采用前者。
乘法公式（简乘公式），是将一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式。 乘法公式是整式乘法的重要内容,准确、熟练的掌握乘法公式对于学好整式乘法乃至整式的其他运算都有着重要的意义。
乘法公式是最常用、最基础的公式，可以由此而推导出其它公式。
其中大多数公式不仅可顺用（多项式乘法），还可逆用（因式分解)。
．价格指数的计算方法
其中： Pijk为第i个规格品在第j个价格调查点的第k次调查的价格；
Pij为第i个规格品第j个调查点的月度平均价格；
m为调查点的个数，n为调查次数。
图像识别概率公式推导
图像识别是计算机视觉中的重要领域，它涉及到识别和分类图像中的对象或场景。在图像识别过程中，通常需要使用概率公式来评估所识别对象的特征。本文将对图像识别概率公式进行推导，以帮助读者更好地理解该领域的基本原理。
在图像识别中，贝叶斯定理是一种重要的工具，用于计算给定特征条件下所观察到类别的概率。贝叶斯定理的数学表达式如下：
$$ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} $$
其中，$$ P(A|B) $$ 表示在观察到特征 B 的条件下出现事件 A 的概率，$$ P(B|A) $$ 表示在事件 A 的条件下观察到特征 B 的概率，$$ P(A) $$ 和 $$ P(B) $$ 分别表示事件 A 和特征 B 的概率。
在图像识别中，我们通常使用概率模型来评估图像中对象的类别。一个常用的模型是朴素贝叶斯分类器，该分类器基于特征的独立分布假设。假设有一幅图像包含 n 个像素点，每个像素点的取值为 $$ x_i $$，则该图像的特征向量为：
$$ \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, ..., x_n) $$
根据朴素贝叶斯分类器的假设，各个像素点之间是相互独立的，因此可以将图像的类别表示为：
$$ P(c|\boldsymbol{x}) = \frac{P(\boldsymbol{x}|c) \cdot P(c)}{P(\boldsymbol{x})} $$
其中，$$ P(c|\boldsymbol{x}) $$ 表示在给定特征向量 $$ \boldsymbol{x} $$ 的条件下图像属于类别 c 的概率，$$ P(\boldsymbol{x}|c) $$ 表示在类别 c 的条件下特征向量 $$ \boldsymbol{x} $$ 的概率，$$ P(c) $$ 表示图像属于类别 c 的先验概率。
为了推导图像识别中的概率公式，我们需要对 $$ P(\boldsymbol{x}|c) $$ 进行假设。假设每个像素点的取值服从高斯分布，则特征向量 $$ \boldsymbol{x} $$ 在类别 c 的条件下服从多元高斯分布，其数学表达式为：
$$ P(\boldsymbol{x}|c) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2} |\boldsymbol{\Sigma}_c|^{1/2}} \exp \left(-\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_c)^T \boldsymbol{\Sigma}_c^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_c) \right) $$
其中，$$ \boldsymbol{\Sigma}_c $$ 是类别 c 的协方差矩阵，$$ \boldsymbol{\mu}_c $$ 是类别 c 的均值向量。
将 $$ P(\boldsymbol{x}|c) $$ 带入贝叶斯定理的公式中，可得到：
$$ P(c|\boldsymbol{x}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi |\boldsymbol{\Sigma}_c|}} \exp \left(-\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_c)^T \boldsymbol{\Sigma}_c^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_c) \right) \cdot P(c) $$
最终，通过对图像识别概率公式的推导，我们可以得到在给定特征向量的条件下，图像属于特定类别的概率表达式，这对于实际的图像识别任务具有重要的指导意义。
图像识别概率公式的推导是图像识别领域中的重要内容，通过理解并应用这些概率模型，可以提高图像识别系统的性能和准确性。希望本文的内容能为读者提供一些对图像识别概率模型的新认识和理解，以便更好地应用于实际图像识别任务中。
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