一、两个矩阵相似是什么意思？

设A，B为数域P上两个n阶矩阵，如果可以找到数域P上的n阶可逆矩阵，使得，则称A相似于B，记作A~B。

相似是矩阵间的一种重要关系，在相似变换下矩阵的特征值保持不变，相似矩阵在矩阵对角化及简化矩阵计算方面有广泛的应用。

(1) 若A相似于B，则A等价于B（即A可通过初等变换化为B）

(2) 若A相似于B，则tr(A)=tr(B)

(3) 若A相似于B，则|A|=|B|

二、如何证明相似矩阵具有相同的行列式？

第一:矩阵A和B相似的定义是存在可逆矩阵P,使得A=P逆BP. 第二 定理:|AB|=|A||B| 因此|A|=|P逆BP|=|P逆||B||P|=|P逆||P||B|=|P逆P||B|=|B| 第一个等号 是对A,B相似定义的两边取行列式. 第二个等号 是定理的应用 第三个等号 是因为行列式的结果是一个数,数与数相乘可以换位置 第四个等号 是定理的反过来应用 第五个等号 是逆矩阵的定义导致|P逆P|=1

三、相似矩阵判定？

相似矩阵的判定有以下几种方法：

判断特征值是否相等。如果两个矩阵的特征值相同，那么它们相似。

判断行列式是否相等。如果两个矩阵的行列式相等，那么它们相似。

判断迹是否相等。如果两个矩阵的迹相等，那么它们相似。

判断秩是否相等。如果两个矩阵的秩相等，那么它们相似。

希望以上信息可以帮到你。

四、两个相似矩阵模相等吗？

矩阵的特征值是单根 就可对角化

两个矩阵的特征值都是1,0单根,都可对角化

由于它们的特征值又一样

所以它们相似于同一个对角矩阵 diag(1,0)

即有 P^-1AP = Q^-1BQ

所以有 A=PQ^-1BQP^-1

= (QP^-1)^-1BQP^-1

即有 A,B相似.

矩阵的特征值是单根 就可对角化

两个矩阵的特征值都是1,0单根,都可对角化

由于它们的特征值又一样

所以它们相似于同一个对角矩阵 diag(1,0)

即有 P^-1AP = Q^-1BQ

所以有 A=PQ^-1BQP^-1

= (QP^-1)^-1BQP^-1

即有 A,B相似.

五、两个矩阵相似矩阵的几何含义？

两个矩阵相似意味着:特征值

 是相同的,行列式

 也是一样的,相似就合同,两个矩阵主对角线的和是一样的。如果矩阵相似，那么其代表的就是不同坐标系（基）的同一个线性变换。也就是AP=PB，其中AP是由于在自然的笛卡尔坐标系

 下表示的，所以前面有一个E没有写出来。

也就是应该是EAP=PB，也就是EA是在笛卡尔坐标系下的坐标，P是过渡矩阵。相乘就是在P为坐标系下的坐标表示，也即是PB。这个两个描述的是同一个线性变化，故是相似的。

六、两个相似矩阵如何相互转化？

A是n阶实对称矩阵，满足A^2=A，设λ为A的特征值，a为对应的特征向量。则Aa=λa

而（A^2-A)a=0,即λ^a-λa=0,λ^-λ=0。所有λ=0或λ=1.

有rankA=r（r<n），所有A必有n-r个特征值为λ=0，r个特征值为λ=1。

于是2E-A必有n-r个特征值为λ=2，r个特征值为λ=1。

所以，det（2E-A）=2^n-r

两个相似矩阵如何相互转化？

七、矩阵，相似，特征多项式？

不一定。两个矩阵相似那么这两个矩阵有相同的特征多项式，这是一个必要条件，并不充分（就是说还不够全面）。全面的说应该是还要有相同的特征值。或者和在一起说两个矩阵有相同的初等因子。

矩阵可对角化的条件是这个矩阵的最小多项式没有重根，这里我举的反例显然不满足要求，所以不可对角化，自然也不与单位阵相似。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

1、求出全部的特征值；

2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

3、上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即|A-λE|=0。带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式。

把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。

把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。

八、什么叫相似矩阵，相似矩阵可以推出什么？

相似矩阵是一种用来表示两个或多个实体之间的相似度的矩阵。它可以用来推断实体之间的关系，以及实体之间的相似性。